APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA DISTRIBUCION EFICIENTE DE CERCAS

 

LA DERIVADA EN DIFERENTES EPOCAS

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo iii a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después. En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge).

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat).

En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo diferencial.

A finales del siglo XVll se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operaciones inversas. Las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros a la integral.

En la época moderna, las derivadas se aplican en una amplia gama de campos y disciplinas. Algunas de las áreas principales donde se utilizan son:

Física y ciencias naturales: Las derivadas se aplican en la física para estudiar el movimiento de objetos, calcular velocidades y aceleraciones, analizar fuerzas y estudiar fenómenos como el flujo de fluidos y la propagación del calor. También se utilizan en campos como la astronomía, la mecánica cuántica y la termodinámica.

Ingeniería: En ingeniería, las derivadas se aplican para analizar y diseñar sistemas y procesos, como el flujo de corriente eléctrica en circuitos, la transferencia de calor en sistemas de refrigeración y el comportamiento de estructuras en ingeniería civil. También se utilizan en el diseño de algoritmos y en la optimización de sistemas complejos. También en Economía, finanzas, Biología y medicina entre otras.

         Objetivo General

• Ejecutar las derivadas en el alambrado de terrenos es utilizar las herramientas del cálculo diferencial para optimizar el diseño y la instalación de cercas, logrando delimitaciones precisas y eficientes, asegurando la seguridad, minimizando costos y maximizando la utilización de los recursos disponibles.

• Buscar el aprovechar las propiedades de las derivadas para analizar las tasas de cambio y las pendientes en el terreno, determinar puntos críticos y optimizar la distribución del alambrado, teniendo en cuenta factores como la topografía, las curvas de nivel, las restricciones del terreno y los requerimientos de seguridad, se busca tomar decisiones fundamentadas y encontrar soluciones óptimas que garanticen la eficiencia en la delimitación de los terrenos cercados.

·         Objetivos Específicos

•   Determinar la pendiente y las tasas de cambio en diferentes puntos del terreno, a fin de optimizar la distribución del alambrado y lograr una delimitación precisa y eficiente.

•  Ejecutar lo aprendido de derivadas durante el módulo de Calculo l.

•  Usar las reglas de la derivada.

•  Ejecutar fundamentos de matemáticas como las ecuaciones de segundo grado.

•  Reconocer la función máxima y mínima, así como su gráfica.

·         Derivada por su Definición:

Para que una función sea derivable en un punto es necesario que también sea continua en ese punto: intuitivamente, si la gráfica de una función está «rota» en un punto, no hay una manera clara de trazar una recta tangente a la gráfica. 

·         Notación dela Derivada.

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:

Reglas de la Derivada:

• Derivada de una Constante
• Derivada de una Identiddad
• Derivada de una Suma o Resta
• Derivada de un Producto
• Derivada de un Conciente
• Regla de la Cadena
• Derivadea de una Raiz
• Dericada de una Funcion Exponenciales
• Derivada de una Funcion Logaritmica
• Derivada de una Funcion Trigonometrica
• Derivada Sucesiva 
• Derivada Implicita

 

      Cálculo: Máximo y Mínimo

La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.

Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del movimiento:

Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.

La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez más pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.

 

En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones más complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.

Ecuaciones de Segundo Grado

Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos: 3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo:

Ejercicio 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:

3x² - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x²

Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:

6x² - 3x = x - 2x + 4 + 2x²

Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x² - 2x - 4 = 0

y simplificando (dividiendo todo por 2): 2x² - x - 2 = 0.

 Resolución Grafica:

Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos cómo hacerlo gráficamente:

La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a: f(x) ó y = 3x² - 4x + 1.

Observa en la siguiente escena su representación gráfica.

Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se llama "parábola".

En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x² - 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.

Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual).

Por tanto: La solución de una ecuación de segundo grado es la "x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola), que se obtiene de la ecuación, con el eje de abscisas (X).

Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).

A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raíces" de la ecuación.

1.    Problema.

Un terreno rectangular está delimitado por un rio en un lado y por una cerca eléctrica de un solo cable en los otros tres lados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima? ¿Cuál es la mayor área que pueda cercarse con un cable de 800 m? Veamos la figura siguiente:

RIO

y

x

y

                                                                                   

 

·         El área del terreno:

                         A = xy

·         El perímetro del terreno:

                          P = x + 2y = 800 m, según los datos proporcionados.

·         De aquí obtenemos:

                         x = 800 − 2y.

·         Sustituyendo en la fórmula del área:

                         A(y) = (800 − 2y) y = 800y − 2y².

·         A(y) es la función cuyo máximo deseamos calcular.

                        A^´(y) = 800 − 4y A^´´(y) = −4 < 0.

·         La segunda derivada es negativa, el punto crítico será un máximo:

                       

·         Para calcular la longitud del otro lado de terreno (la x), sustituimos:

                          x =800-2y= 800 − 2(200) = 400

·         Sustituimos las variables de A(y) y calculamos el área máxima del terreno:

·         Por lo tanto, las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima son x = 400  & y = 200.

·         La mayor área que se puede cercar con estas condiciones es de A = 80000.

• Grafica:

Conclusiones

·         Las derivadas del cálculo diferencial tienen una amplia gama de aplicaciones en el alambrado de terrenos. Estas aplicaciones se basan en el análisis de las tasas de cambio y las pendientes del terreno, lo que permite tomar decisiones informadas y optimizar la distribución del alambrado.

·         También contribuye a la optimización de los recursos, se puede determinar la cantidad de alambre necesaria y minimizar el desperdicio de material, reduciendo así los costos asociados al proyecto.

•     Es una de las muchas formas de la calcular el alambrado de un terreno, nos pareció interesante desarrollarlo, así como la investigación del tema y la competencia de los resultados.